权力巅峰之路第488章 见一面不容易

一、对数函数与泰勒展开式基础 1.1 对数函数lg(x)的定义与性质以10为底的对数函数lg(x)是指数函数的反函数。

若则x叫做以10为底N的对数记作。

其定义域为(0正无穷)因为的值域是(0正无穷)作为反函数lg(x)的定义域便是所有正数。

值域是(负无穷正无穷)这是由于x可以取任意实数而总能对应一个正数N使得。

lg(x)具有对数函数的基本性质如且当x＞1时lg(x)＞0；当0＜x＜1时lg(x)＜0。

1.2 泰勒展开式的原理与意义泰勒展开式的原理是将一个在某点处具有任意阶导数的函数用该点处的各阶导数值构造一个多项式函数来无限逼近原函数。

具体来说对于函数若其在处可导则在附近的泰勒展开式为。

它在函数近似中作用显着可通过有限项多项式近似复杂函数便于计算。

在理论分析中能揭示函数在某点附近的性态如极值、凹凸性等是数学分析和工程计算的重要工具。

二、lg(x)函数在特定点的泰勒展开式推导 2.1 计算lg(x)函数各阶导数要计算lg(x)函数在特定点的各阶导数首先明确。

对于其一阶导数为二阶导数为三阶导数为以此类推其阶导数为。

由于是常数lg(x)的各阶导数即为各阶导数除以。

在处的一阶导数为二阶导数为三阶导数为依此类推阶导数为。

这些导数值将为后续的泰勒展开式推导提供必要的基础。

2.2 推导x=1处lg(x)的泰勒展开式在处推导lg(x)的泰勒展开式依据泰勒公式。

已知即。

由2.1节可知在处的一阶导数为二阶导数为三阶导数为阶导数为。

将这些导数值代入泰勒公式得。

整理化简后即为在处的泰勒展开式。

2.3 推导x=10处lg(x)的泰勒展开式在处推导lg(x)的泰勒展开式同样利用泰勒公式。

设则于是。

对求导其一阶导数为二阶导数为三阶导数为以此类推阶导数为。

在处即处各阶导数的值为、、、、。

将这些值代入泰勒公式得到。

三、lg(x)泰勒展开式的收敛性分析 3.1 确定泰勒展开式的收敛半径确定lg(x)泰勒展开式的收敛半径可利用比值判别法。

考察lg(x)泰勒展开式的相邻两项之比其中为展开式的第项系数。

若当时级数收敛；当时级数发散；当时无法确定需用其他方法判别。

对于lg(x)在处的展开式其系数计算可得此时需借助其他判别方法来确定其收敛半径。

3.2 分析展开式的收敛区间对于lg(x)在处的泰勒展开式由于无法确定收敛区间需考察级数的绝对收敛与条件收敛。

当时级数各项的绝对值单调递增且当时各项的绝对值不趋于0故此时级数发散。

当时级数各项的绝对值单调递减且各项的绝对值趋于0满足交错级数收敛的莱布尼茨判别法故此时级数绝对收敛。

所以lg(x)在处的泰勒展开式的收敛区间为(负无穷1)。

而在处的展开式由于类似分析可得收敛区间为(911)。

3.3 判断收敛区间外的有效性及误差在收敛区间外lg(x)的泰勒展开式是无效的。

因为当不在收敛区间内时展开式作为无穷级数将发散无法收敛到lg(x)的真实值。

若要用展开式近似计算此时误差会非常大且无法通过增加展开项数来减小误差。

要判断误差可利用泰勒展开式的余项。

若展开到阶则余项表示展开式与真实值之间的差其大小反映了误差的大小可根据具体问题估计的取值范围。

四、lg(x)泰勒展开式的应用 4.1 在数值计算中近似计算对数值在数值计算中利用lg(x)的泰勒展开式可近似计算对数值。

以计算lg(2)为例由lg(x)在x=1处的泰勒展开式将x=2代入取前几项可得与实际值0.3010基本吻合误差在可接受范围内。

4.2 在计算机中快速计算lg(x)在计算机领域为快速计算lg(x)常利用泰勒展开式。

计算机先将输入x进行预处理如将其转换为适合展开的区间内的数再利用lg(x)的泰勒展开式进行计算。

通过选取合适项数在保证精度的同时提高计算速度且展开式多项式形式便于计算机用基本的加减乘除运算实现。

4.3 在数值积分和微分方程求解中的应用在数值积分中泰勒展开式可用于将复杂被积函数近似为多项式使积分计算简化。

如计算可将lg(x)展开为泰勒级数再逐项积分。

在微分方程求解中对于含lg(x)的微分方程可利用泰勒展开式将lg(x)近似为多项式简化方程形式便于用常规方法求解如欧拉法、改进欧拉法等使求解过程更高效。

4.4 与其他数值方法的比较优势相较于其他数值方法泰勒展开式优势明显。

与插值法相比泰勒展开式在整个展开区间内都有较好近似效果而插值法在插值点附近精度高远离插值点精度下降。

与数值积分的梯形公式、辛普森公式等相比在处理复杂函数时。

泰勒展开式是一种将函数表示为无穷级数的方法它将大大简化了计算过程。

具体来说泰勒展开式通过将函数在某一点展开成幂级数的形式使得我们可以用多项式来近似表示该函数。

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